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2次関数は高校数学において文系、理系問わず多くの人が苦しむテーマです。2次関数におけるグラフの読み方から最大値や最小値の問題の解き方から平方完成、平行移動のやり方などまで2次関数とはといった基礎的な部分から応用的な問題まで順番に分かりやすく解説します。
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2次関数とは
2次関数は、xの2乗に比例するyを表す数式です。一般的には以下のように表されます。 y = ax^2 + bx + c ここで、a、b、cは定数であり、aが0ではないことが条件となります。aが正の場合、2次関数は上に凸のグラフを描き、aが負の場合は下に凸のグラフを描きます。
2次関数の決定条件
2次関数を決定するには、以下の3つの情報が必要です。
- 1. aの値：aが0でないことが条件となります。
- 2. bの値：xの1次の係数を表します。
- 3. cの値：y切片を表します。
これらの情報を元に、2次関数を求めることができます。 2次関数 グラフ 頂点 2次関数のグラフの頂点は、平方完成をすることで求めることができます。平方完成によって得られた式の括弧内にあるxの項が0になるときのyの値が、頂点のy座標となります。
また、そのxの値が、頂点のx座標となります。頂点を求めることで、2次関数のグラフの形や最大値・最小値を求めることができます。
1次関数と2次関数の違いとグラフの形
1次関数と2次関数は、それぞれxとyの間の数学的な関係を表します。 1次関数は、y = ax + b という形をしています。ここで、aとbは定数であり、xは変数です。
1次関数のグラフの形
1次関数は、xに比例してyが変化することを意味します。グラフとして描くと、1次関数は直線となります。
- 例えば、y = 2x + 3 という1次関数があります。xが1のとき、yは5になります。xが2のとき、yは7になります。これをグラフに描くと、y軸に3だけずらされた傾き2の直線が描かれます。
2次関数のグラフの形
一方、2次関数は、y = ax^2 + bx + c という形をしています。ここで、a、b、cは定数であり、xは変数です。2次関数は、xの2乗に比例してyが変化することを意味します。グラフとして描くと、2次関数は放物線となります。
- 例えば、y = x^2 + 2x + 1 という2次関数があります。xが1のとき、yは4になります。xが2のとき、yは9になります。
これをグラフに描くと、頂点が(-1,0)である上向きの放物線が描かれます。
1次関数と2次関数の違いは、グラフの形状です。1次関数は直線であり、2次関数は放物線です。また、1次関数はxに比例してyが変化するのに対し、2次関数はxの2乗に比例してyが変化します。
2次関数の平方完成とは？
2次関数を平方完成することで、2次関数のグラフの頂点を求めたり、方程式を解いたりすることができます。平方完成とは、以下の手順に従って行います。
1. まず、x^2の係数であるaを1にするために、定数bを2で割ります。
- y = a(x^2 + (b/2a)x) + c 2.
次に、x^2の項とxの項の間にある定数項の2乗を加えます。
- y = a(x^2 + (b/2a)x + (b/2a)^2 – (b/2a)^2) + c
3. 括弧内を2乗の公式で展開します。
- y = a(x + b/2a)^2 – a(b/2a)^2 + c
- y = a(x + b/2a)^2 – ab^2/4a + c
- y = a(x + b/2a)^2 + (4ac – b^2)/4a
4. 最後に、括弧内にあるxの項を移項して、式を整理します。
- y = a(x + b/2a)^2 + (4ac – b^2)/4a
2次関数のグラフについて
2次関数のグラフは、y = ax^2 + bx + cの形をしています。この式において、aが正の場合は上に凸のグラフを描き、aが負の場合は下に凸のグラフを描きます。
また、bが正の場合は左に、負の場合は右に平行移動します。cは、y軸との交点である切片を表します。
2次関数の頂点の求め方、解き方
2次関数の頂点は、平方完成をすることで求めることができます。平方完成によって得られた式の括弧内にあるxの項が0になるときのyの値が、頂点のy座標となります。また、そのxの値が、頂点のx座標となります。頂点を求めることで、2次関数のグラフの形や最大値・最小値を求めることができます。
2次関数の最大値と最小値の読み方
2次関数の最大値や最小値は、頂点において取られます。頂点は、平方完成をすることで求めることができます。aが正の場合、頂点は下に凸の場合最小値を、上に凸の場合最大値を取ります。aが負の場合は、逆になります。また、xの範囲によっては、最大値や最小値を取らない場合もあります。
2次関数 平行移動
2次関数を平行移動するには、y = ax^2 + bx + cの式において、cの値を変えることで行います。cが正の場合は、上に平行移動し、負の場合は下に平行移動します。また、bが正の場合は左に、負の場合は右に平行移動します。 2次関数 問題の解き方 2次関数の問題を解くには、以下の手順に従って行います。
- 1. 与えられた2次関数の式を確認します。
- 2. 平方完成を行い、頂点を求めます。
- 3. 頂点の座標を求めたら、最大値・最小値を求めます。
- 4. 求められた情報を元に、問題を解きます。
2次関数のおすすめ勉強法
1. 教科書の基礎から丁寧に学ぶ
2次関数は高校数学の基礎的な内容ですが、基本から学び直すことで理解を深めることができます。教科書の基礎から、丁寧に学ぶことをおすすめします。
2. 問題演習を積極的に行う
2次関数に関する問題演習を積極的に行うことで、理解を深めることができます。教科書や過去の試験問題を解いて、自分が理解できているか確認しましょう。
3. 図形を描いてイメージを固める
2次関数のグラフは、上に凸の場合と下に凸の場合で形が異なります。また、平行移動によってグラフの位置が変わります。図形を描いてイメージを固めることで、理解を深めることができます。
4.2次関数の学習にはチャート式がおすすめ
チャート式シリーズは青チャートや黄色チャートなどがありますが、数学を勉強する際には全部を完璧にしてください。とは言いません。ただし、自分の苦手な分野のみはチャート式を使って学習することがおすすめです。
もし学校の教材だけではなかなか理解が進まなかったり、2次関数の数字が変わった問題になるとすぐ解けなくなってしまうという人にはチャート式の演習を2次関数のみ進めても良いでしょう。
2次関数の変化の割合の求め方
2次関数の変化の割合は、微分によって求めることができます。2次関数y = ax^2 + bx + cの導関数は、2ax + bとなります。この式にxを代入することで、ある点における傾きを求めることができます。また、傾きが正の場合は増加し、負の場合は減少することを意味します。
大学受験生におすすめのオンライン塾
大学受験生は今回紹介したような2次関数の勉強以外にも指数関数や確率など数学の他の分野はもちろん国語や英語など様々な教科を同時に鍛えていく必要があります。
そこで重要になってくるのはなんといっても勉強計画です。大学受験生の方々はとにかく全教科を効率的に伸ばせる勉強計画とそれを実行するためのモチベーション維持を習得する必要があります。
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まとめ
2次関数の解き方や勉強法についていかがでしたでしょうか？もしもまだ勉強法について分からないことやこれからどういう風に対策していけば良いかわからないという人はぜひスタディチェーンの無料カウンセリングに一度お越しください。
受験勉強で大切なのはとにかく基礎の理解→演習を何度も繰り返して進めていくことです。地道な戦いが続きますが、ぜひ引き続き頑張っていきましょう！
早慶に偏差値30から受かる勉強計画ノート著者。どんな状況の受験生でも逆転合格に向けてやるべきこととやらないことを明確にわける指導方針。
